棋盘覆盖

描述

在一个2^k×2^k（1<=k<=100）的棋盘中恰有一方格被覆盖，如图1（k=2时），现用一缺角的2×2方格（图2为其中缺右下角的一个），去覆盖2^k×2^k未被覆盖过的方格，求需要类似图2方格总的个数s。如k=1时，s=1;k=2时，s=5

 

 

 

 

输入

第一行m表示有m组测试数据；

每一组测试数据的第一行有一个整数数k;

输出

输出所需个数s;

样例输入

3123

样例输出

1521

错误答案：   读完题后，首先就想到可以用 num = (2^k * 2^k - 1) / 3，轻松算出答案。于是就有了下面的程序，写完后才发现，这个题有坑！2^100次方这个数已经超过了整数变量的最大值，这个题应该用大数算法。

using namespace std;int main(){    int time, k;    cin >> time;    int nums[time];    int i = time;    while (i--) {        cin >> k;        nums[i] = ((1 << k) * (1 << k) - 1) / 3;    }    i = time;    while(i--) {        cout << nums[i] << endl;    }    return 0;}

大数算法，简单说就是用数组来存储数值。而相应的进位等计算操作就需要手动编写。利用数组进行大数的加减乘等操作相对简单，但是除法就麻烦多了。num = (2^k * 2^k - 1) / 3利用这个公式来算大数，显然不太明智。所以我们需要找到更好算法，充分利用计算机的循环操作。

num = (2^4 * 2^4 - 1) / 3 = 85 = 2^6 + 2^4 + 2^2 + 2^0num = (2^3 * 2^3 - 1) / 3 = 21 = 2^4 + 2^2 + 2^0num = (2^2 * 2^2 - 1) / 3 =  5 = 2^2 + 2^0num = (2^1 * 2^1 - 1) / 3 =  1 = 2^0

大家不用我说就能发现里面的规律了吧。利用这个公式就可以避免除以3的计算。

j = k - 1

num = 2^(2*j) + 2^(2*j-2) + …… + 2^0

num = (((2^2 + 1) * 2^2 + 1) * 2^2 + 1) * 2^2 + 1

可以进一步转换公式，变换成利于循环操作

然后结合数组存储大数的方法就可以得到下面的程序

#include
       
        #include
        
         using namespace std;int main(){    int sum;    cin >> sum;    int total[sum][100];    int n = sum;    while(n--)    {        int *a = total[n];        memset(a, 0, 100 * sizeof(int));        int size;        cin >> size;        a[0] = 1;        int i, j, k;        for(i = 2;i <= size; ++i)        {            for(j = 0; j < 100; ++j)                a[j] = 4 * a[j];            a[0]++;            for(j = 0; j < 99; ++j)            {                a[j+1] += a[j] / 10;                a[j] = a[j] % 10;            }        }    }    // 输出    n = sum;    while(n--)    {        int i, j;        int *a = total[n];        for(i = 99; i >= 0; --i)            if(a[i])                break;        for(j = i; j >= 0; --j)            cout << a[j];        cout << endl;    }    return 0;}
        
       

 

 

另一种思路：

如果这个题不是求L型方格的数量，而且让你绘制出摆放方格后的棋盘呢。这就变成了另外一个题，而相应的算法也完全不同。这里就需要运用分治算法。